Discovering the happy numbers

Durante el primer trimestre trabajamos en el grupo de primer curso bilingüe 1ºEx/Fx las potencias de números naturales. Para consolidar el cálculo nos embarcamos en una exploración de los números llamados en inglés happy numbers. Los números pueden dividirse en muchas categorías: números primos, números compuestos, números cuadrados, números perfectos... En esta ocasión se dividen en happy numbers y en sad numbers. Para saber si un número es happy o sad le aplicamos un proceso llamado happification. Este proceso consiste en tomar las cifras de un número, elevarlas al cuadrado y sumarlas. Esto nos produce otro número. Un número está en la categoría de los happy numbers si en algún momento después de realizar una cierta cantidad de happifications llegamos al número 1. Por ejemplo: Tomemos el número 13. Elevamos a 2 sus cifras y las sumamos: 12 + 32 = 1 + 9 = 10.Ahora repetimos el proceso con el 10: 12 + 02 = 1 + 0 = 1. El número 13 es un happy number. Si no conseguimos llegar al número 1 realizando la happification el número estaría dentro de la categoría sad numbers. Pero si no llega al 1, ¿qué ocurre con los resultados de la happification? Esta misma pregunta surgió en clase y después de tratar de determinar qué números del 1 al 100 eran happy y cuáles eran sad, lo descubrimos, junto a otras propiedades interesantes. Por ejemplo: 1. Si modificamos el orden de las cifras de un número no cambia su estatus de happy o sad (su happiness). 2. Si intercalamos ceros en un número se mantiene su happiness. 3. 31 y 32 son dos happynumbers consecutivos. El número 4 no es un happynumber porque su happification nunca llega al 1. 4: 42 = 16. 16: 12 + 62 = 1 +36 = 37 37: 32 + 72 = 9 + 49 = 58 58: 52 + 82 = 25 + 64 = 89 89: 82 + 92 = 64 + 81 = 145 145: 12 + 42 + 52 = 1 + 16 + 25 = 42 42: 42 + 22 = 16 + 4 = 20 20: 22 + 02 = 4 Así que hemos vuelto al principio. Este bucle (4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4) recibe el nombre de melancoil (coil en inglés es algo que está enrollado como una cuerda o una bobina) y convierte a todos los números involucrados en sad numbers. Todos los números naturales son o bien happy numbers y llegan al 1 o bien caen en el bucle melancoil y son sad numbers. Daniel De la Paz Profesor de Matemáticas.